Métropole, septembre 2021

Partie I

On considère la fonction  $f$ définie sur  $\mathbb{R}$ par :  $f(x)=x-{\mathrm{e}}^{-2x}$ .
On appelle  $\mathrm{\Gamma }$ la courbe représentative de la fonction  $f$ dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

1. Déterminer les limites de la fonction  $f$ en  $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$ .

2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$  sur  $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équation  $f(x)=0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ , dont on donnera une valeur approchée à  ${10}^{-2}$ près.

4. Déduire des questions précédentes le signe de  $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

Partie II

Dans le repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , on appelle  $C$ la courbe représentative de la fonction  $g$ définie sur  $\mathbb{R}$ par :  $g(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ .
La courbe  $C$ et la courbe  $\mathrm{\Gamma }$ (qui représente la fonction $f$  de la Partie I) sont tracées sur le graphique ci-dessous.

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe  $C$ le plus proche de l’origine  $\text{O}$ du repère et d’étudier la tangente à  $C$ en ce point.

1. Pour tout nombre réel $t$ , on note  $\text{M}$ le point de coordonnées  $(t;{\mathrm{e}}^{-t})$ de la courbe $C$ . 
On considère la fonction  $h$ qui, au nombre réel $t$ , associe la distance $\text{O}\text{M}$ . 
On a donc : $h(t)=\text{O}\text{M}$ , c’est-à-dire :  $h(t)=\sqrt{t^2+{\mathrm{e}}^{-2t}}$ .
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $t$ ,  $h^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{f(t)}{\sqrt{t^2+{\mathrm{e}}^{-2t}}}}$  où  $f$ désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
    b. Démontrer que le point  $\text{A}$ de coordonnées  $(\alpha ;{\mathrm{e}}^{-\alpha })$ est le point de la courbe  $C$ pour lequel la longueur  $\text{O}\text{M}$ est minimale. Placer ce point sur le graphique.

2. On appelle  $T$ la tangente en  $\text{A}$ à la courbe $C$ .
    a. Exprimer en fonction de  $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente  $T$ .
On rappelle que le coefficient directeur de la droite  $(\text{O}\text{A})$ est égal à  ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\alpha }}{\alpha }}$ . 
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration : dans un repère orthonormé du plan, deux droites  $D$ et  $D^{\prime }$ de coefficients directeurs respectifs $m$  et  $m^{\prime }$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit  $m{m}^{\prime }$ est égal à $-1$ .
    b. Démontrer que la droite  $(\text{O}\text{A})$ et la tangente  $T$ sont perpendiculaires. Tracer ces droites sur le graphique.