Métropole, septembre 2021

Partie I

On considère la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par :  \(f(x) = x − \mathrm{e}^{-2x}\) .
On appelle  \(\Gamma\) la courbe représentative de la fonction  \(f\) dans un repère orthonormé \((\text O\; ; \overrightarrow i, \overrightarrow j )\) .

1. Déterminer les limites de la fonction  \(f\) en  \(-\infty\) et en \(+\infty\) .

2. Étudier le sens de variation de la fonction \(f\)  sur  \(\mathbb{R}\) et dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équation  \(f(x)=0\) admet une unique solution  \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) , dont on donnera une valeur approchée à  \(10^{-2}\) près.

4. Déduire des questions précédentes le signe de  \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\) .

Partie II

Dans le repère orthonormé \((\text O\; ; \overrightarrow i, \overrightarrow j )\) , on appelle  \(C\) la courbe représentative de la fonction  \(g\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par :  \(g(x)=\mathrm{e}^{-x}\) .
La courbe  \(C\) et la courbe  \(\Gamma\) (qui représente la fonction \(f\)  de la Partie I) sont tracées sur le graphique ci-dessous.

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe  \(C\) le plus proche de l’origine  \(\text O\) du repère et d’étudier la tangente à  \(C\) en ce point.

1. Pour tout nombre réel \(t\) , on note  \(\text M\) le point de coordonnées  \((t\;;\mathrm{e}^{-t})\) de la courbe \(C\) . 
On considère la fonction  \(h\) qui, au nombre réel \(t\) , associe la distance \(\text O\text M\) . 
On a donc : \(h(t)=\text O\text M\) , c’est-à-dire :  \(h(t)= \sqrt{t^2+\mathrm{e}^{-2t}}\) .
    a. Montrer que, pour tout nombre réel \(t\) ,  \(h^\prime(t)=\dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+\mathrm{e}^{-2t}}}\)  où  \(f\) désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
    b. Démontrer que le point  \(\text A\) de coordonnées  \((\alpha\; ;\mathrm{e}^{-\alpha})\) est le point de la courbe  \(C\) pour lequel la longueur  \(\text O\text M\) est minimale. Placer ce point sur le graphique.

2. On appelle  \(T\) la tangente en  \(\text A\) à la courbe \(C\) .
    a. Exprimer en fonction de  \(\alpha\) le coefficient directeur de la tangente  \(T\) .
On rappelle que le coefficient directeur de la droite  \((\text O\text A)\) est égal à  \(\dfrac{\mathrm{e}^{-\alpha}}{\alpha}\) . 
On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration : dans un repère orthonormé du plan, deux droites  \(D\) et  \(D^\prime\) de coefficients directeurs respectifs \(m\)  et  \(m^\prime\) sont perpendiculaires si, et seulement si le produit  \(mm^\prime\) est égal à \(-1\) .
    b. Démontrer que la droite  \((\text O\text A)\) et la tangente  \(T\) sont perpendiculaires. Tracer ces droites sur le graphique.